積和公式の変形
これで必要な積和公式がそろった。
が、
フーリエ係数に話を繋がげるためにもう一段変形が必要。
やることは、
\(\alpha,\beta\)を\(\alpha x,\beta x\)
にするだけ。
普通に代入して最適化するだけとなる。
まず、導出した積和公式を並べよう。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\\
\sin(\alpha)\sin(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}
\end{eqnarray}
\)
あとは、\(\alpha,\beta\)を\(\alpha x,\beta x\)にして、xを分解
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha x)\cos(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\sin\{(\alpha+\beta)x\}+\sin\{(\alpha-\beta)x\}}{2}\\
\cos(\alpha x)\cos(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\cos\{(\alpha+\beta)x\}+\cos\{(\alpha-\beta)x\}}{2}\\
\sin(\alpha x)\sin(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\cos\{(\alpha-\beta)x\}-\cos\{(\alpha+\beta)x\}}{2}
\end{eqnarray}
\)
本当に置き換えるだけとなる。
これは後で使うことになるので、
こういうものあると、一応覚えておいて欲しい。
まとめ
- 三角関数の加法定理の組み合わせで積和公式が導出できる。
- sin,cos、cos,cos、sin,sinの積和公式を導出してみた。
- 積和公式をフーリエ係数に向けて変形。
- α,βをαx,βxにするだけ。
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