【入門】三角関数積和公式【数値計算】

積和公式の変形
まとめ

積和公式の変形

これで必要な積和公式がそろった。

が、
フーリエ係数に話を繋がげるためにもう一段変形が必要。

やることは、
\(\alpha,\beta\)を\(\alpha x,\beta x\)
にするだけ。

普通に代入して最適化するだけとなる。
まず、導出した積和公式を並べよう。

\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\\
\sin(\alpha)\sin(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}
\end{eqnarray}
\)

あとは、\(\alpha,\beta\)を\(\alpha x,\beta x\)にして、xを分解

\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha x)\cos(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\sin\{(\alpha+\beta)x\}+\sin\{(\alpha-\beta)x\}}{2}\\
\cos(\alpha x)\cos(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\cos\{(\alpha+\beta)x\}+\cos\{(\alpha-\beta)x\}}{2}\\
\sin(\alpha x)\sin(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\cos\{(\alpha-\beta)x\}-\cos\{(\alpha+\beta)x\}}{2}
\end{eqnarray}
\)

本当に置き換えるだけとなる。

これは後で使うことになるので、
こういうものあると、一応覚えておいて欲しい。