MATLAB、Python、Scilab、Julia比較ページはこちら
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はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第3章 その71【アフィン変換⑮】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第3章 その72【アフィン変換⑯】
を書き直したもの。
アフィン変換の続き。
今回は、プログラミングに向けての話。
アフィン変換のプログラミングに向けて
アフィン変換のプログラミングを行うにあたって
おおよその情報がそろった状態になる。
よって、そろそろプログラミングし始めても良いレベルだろう。
しかし、事前に何をどのようにやるかの確認は必要。
まずは処理の流れの確認。
以下の流れを想定している。
- 画像サイズの取得
- 中心を0とした座標系の生成
- X軸、Y軸ともに-1～1の範囲の座標系として扱う
- 座標\(x\prime,y\prime,1\)の3次元ベクトル配列の生成。
- ※ 全座標に対して一括でアフィン逆変換を実施するため。
- 変換元座標の算出(アフィン逆変換)
- 画像と同一形状の2次元配列に変換元座標配列を生成。
- 変換元の座標系-1～1をピクセル位置に変換。
- 元画像と変換元座標を元に変換先へコピー。
予想よりもやること多く感じるかもしれないが、
変換前の準備と後処理がいろいろ入ってるため。
画像サイズの取得と中心を0とした座標系の生成
画像サイズの取得はわかると思うが、、
中心を0とした座標系の生成が良くわからないだろう。
画像の中心を原点とした回転をしたいが、原点が中心じゃないと困る。
画像で示すとこんな感じになる。
とりあえず、ピクセル座標からいい感じに座標を置き換えるってことになる。
座標の3次元ベクトル配列の生成。
その次の
「座標\(x\prime,y\prime,1\)の3次元ベクトル配列の生成。」
のもわかりにくいだろう。
各ピクセルの座標を作った段階では2次元配列になるのだが、
それを1次元配列的な形に変形するって話になる。
まず、座標配列である、2次元グリッドを作る。
だいたいどのツール、言語でもmashgridという関数があるから、これを使用すると簡単に作れる。
そして、このままだと2次元配列なので、1元配列な構成に変更。
reshapeや行列の数列展開を使用すると実現できる。
しかし、なぜこのようなことをするのだろうか？
変換元座標の算出(アフィン逆変換)
先ほどの答えは、
「アフィン逆変換を一括でやるため」
まずアフィン逆変換の式を再掲する。
\(
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a & b & T_x\\
c & d & T_y\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
x\prime\\
y\prime\\
1
\end{bmatrix}\\
\)
これだと一つずつのピクセルの座標変換しかできない。
これを一括で出来るように式を拡張する。
\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
x_{(-1,-1)} & \dots & x_{(0,0)} & \dots & x_{(1,1)} \\
y_{(-1,-1)} & \dots & y_{(0,0)} & \dots & y_{(1,1)} \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}=\\
\begin{bmatrix}
a & b & T_x\\
c & d & T_y\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
-1 & -0.9 & \dots & 0 & \dots & 0.9 & 1\\
-1 & -1 & \dots & 0 & \dots & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}\\
\end{eqnarray}
\)
入力ベクトル、出力ベクトルが列ベクトルなのを拡張して、
入力ベクトル群としての行列、出力ベクトル群としての行列にしている。
1ベクトル単位でfor文で回しても良いのだが、
数式の段階で解決してしまった方が楽だろう。
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