【入門】射影変換へ至る道①【数値計算】

方程式の変形
方程式の変形
行列表現
まとめ

方程式の変形

そして、この方程式全体を $i$ で割る。
そうすると、 $a / i, b / i, \dots, h / i$ というパラメータになるのだが、
元々何も決まってないパラメータだったので、
これらを新たな $a, b, \dots, h$ とする。
これにより、以下の式になる。

$\begin{array}{r} {\begin{cases} x' = \frac{a x + b y + c}{g x + h y + 1} \\ y' = \frac{d x + e y + f}{g x + h y + 1} \end{cases} \end{array}$

妙なことをしたように見えるかもしれないが、
成立することもわかると思う。

ここでパラメータをa～iの9個からa～hの8個にしたのは後々効いてくる。

方程式の変形

先の方程式を少し整頓して変形していく。

分母を $s$ としてまとめる。

$s = g x + h y + 1$

これを元の式に戻す。

$\begin{array}{r} {\begin{cases} x' = \frac{a x + b y + c}{s} \\ y' = \frac{d x + e y + f}{s} \end{cases} \end{array}$

これを整理すると、

$\begin{array}{r} {\begin{cases} s x' = \frac{a x + b y + c}{s} \\ s y' = \frac{d x + e y + f}{s} \\ s = g x + h y + 1 \end{cases} \end{array}$

行列表現

見た目がキレイになったところで
これを行列として表現しなおす。
以下のようになる。

$s [\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}]$

方程式がキレイにそろえられたから、
そのまま行列に表現を変えただけではある。

まとめ

射影変換の理屈を把握するための流れを記載。
変換過程を説明。
変換過程毎の数式化、方程式化、行列化を実施。

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