行列

内積はベクトル表記と成分表記の公式がある。成分表記の内積は余弦定理から求められる。行列は方程式の係数部をまとめたもの。行列演算は入力ベクトル、変換行列、出力ベクトルが基本形。入力、出力をnセットに拡張すると列ベクトルがnセット分の列が増えの行列になる。

前回の行列演算の式を再掲。前回は入力、出力の列ベクトルを2セットだったが、これをnセットにするとどうなるか。入力、出力が2x2行列からnx2行列へ。これの利点は入力から出力の変換が一括で表現できること。これを知ってるだけでコミュニケーションスキルが上がる？

連立方程式を行列演算にしたものを再掲。上記の構成は[出力ベクトル]=[変換行列][入力ベクトル]となる。これの入力、出力を列ベクトル2セットにすると2x2の行列になる。すべて2x2行列になるが、数式上の位置によって、入力、変換、出力と意味が異なる。このルールをすっ飛ばしてる行列嫌いになるかも？

二元一次方程式を書き出す。上記をベクトルの内積で表現し直す。さらに上記を行列で表現し直す。まずはこれが最もシンプルな行列の性質を示している。

ベクトル内積の公式を再掲。ベクトルの内積で方程式を表現できる。n次方程式、多変数方程式でも考え方は一緒。

内積の定義と余弦定理から成分表記の内積を求めた。ベクトルとしての内積と、成分表記としての内積が等しいことを証明。上記を利用して、内積が方程式と強い関係性があることを示すの次回。

余弦定理を何とか証明。垂直線を使って2つの直角三角形を作ることで各辺を三角関数を使用した表現が可能。三角比の基本公式を加えると、余弦定理が求まる。基本公式は三平方の定理と半径1の円起動の点と原点をを元に作った直角三角形から求まる。

内積の定義を確認。内積は単なる計算方法であり、内積そのものにに意味はない。ただし、特性のようなものはある。内積の分かり易い特性としては相関性。類似度とも言われ、特に内積を利用したものをcos類似度と呼ばれる。基本的な計算であるが故に畳み込み積分、類似成分抽出、方程式などに利用される。

やっぱり線形代数の基礎はやっておく。割とすぐに詰む可能性があるから。説明手順をとりあえず決めた。行列の内積の公式の再確認。方程式と内積。連立方程式と行列。行列によるベクトル変換。行列によるベクトル群変換。行列の内積の公式の再確認。一旦忘れてOK。

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