逆フーリエ変換

フーリエ変換とフーリエ逆変換のもう一つのバリエーションである、数式対称性について。3パターンある。1/2πをどちらが持つかって違い。1/√2πのように折半するパターンもある。バリエーションを認識していないと異なるバリエーションの変換/逆変換の組み合わせを使用してしまい、元の波形に戻らない事故が発生する。

フーリエ変換とフーリエ逆変換のバリエーション自体もバリエーションがある。角周波数表現と周波数表現によるバリエーション。数式対称性によるバリエーション。角周波数表現は前回＆今回再掲したもの。周波数表現は角周波数を単純に周波数の式を代入したもの。角周波数は角速度のスカラー量。

フーリエの積分公式は「とある関数を畳み込み積分を経ても同じ関数に戻せる」と証明されているもの。複素フーリエ級数、複素フーリエ係数で証明可能だが、ここでは省略。フーリエの積分公式の一部をフーリエ変換と定義した。フーリエ変換の式をフーリエの積分公式に戻すことで逆フーリエ変換の式が完成。

フーリエ変換、逆フーリエ変換の元ネタがフーリエの積分公式。f(t)とf(x)は同じものだが、複素指数関数との畳み込み積分を経由しても等しい状態を作れることを示している。複素指数関数はオイラーの公式より三角関数に展開可能。畳み込み積分は三角関数とf(t)の内積を示しており、同一角周波数のみが取り出せる理屈。

逆フーリエ変換が正しいのかフーリエ逆変換が正しいのか。どっちも正しいと思っておいた方が良さそう。英単語の並びを重視するか、逆変換という日本語としての意味を重視するか。フーリエ変換/逆変換はバンドパスフィルタ利用が有名。フーリエ変換、逆フーリエ変換にバリエーションがある点に注意。