株価予測 【連続系】MATLAB、Pythonで株価予測 その69【フーリエ変換⑥】
フーリエ変換、逆フーリエ変換のMATLABコードを作成してきた。
変換する波形はシンプルなものにする。
sin(x)+sin(3x)+sin(7x)。
数式上でΣ、内積で表現できればプログラム化は容易。
Σはfor文になるが、MATLABの場合、条件がそろっていればfor文すらも不要。
フーリエ変換
株価予測 
株価予測 【連続系】MATLAB、Pythonで株価予測 その68【フーリエ変換⑤】
フーリエ変換のプログラム化の前に数式レベルでいろいろ解決。
積分をΣで解決する。(リーマン積分)
関数をベクトルと解釈する。
畳み込み積分は内積で解決。
ベクトルのそれぞれの要素数をNで切りそろえているのでそれほど複雑にはならないはず。
株価予測 【連続系】MATLAB、Pythonで株価予測 その67【フーリエ変換④】
前回、打ち出した方針を再掲。
要素数Nが重要。
関数、変数のベクトル要素数がNできり揃う。
これにより、逆変換も苦にならない想定。
文章で表現したものを数式で表現。
ベクトルになる箇所を明確にした。
プログラム化はやってみないとわからん。
なんとか辻褄合わせができるよう頑張る。
株価予測 【連続系】MATLAB、Pythonで株価予測 その66【フーリエ変換③】
フーリエ変換、逆フーリエ変換を再確認。
問題点は無限の解釈の仕方。
無限の範囲に於いての「関数同士の内積」。
「関数同士の内積」も無限要素のベクトルと解釈する必要がある。
有限数を便宜上、無限に近いものとすれば、ある程度成立する可能性はある。
株価予測 【連続系】MATLAB、Pythonで株価予測 その65【フーリエ変換②】
細かい周波数特性の取り方としてフーリエ変換を利用することとした。
フーリエ変換とDFT,FFTは別物。
目的が一緒なので、本来は気にしなくても良いが、今回に限っては別物扱いせざるを得ない。
フーリエ変換の連続的、範囲が∞であることがプログラム化に対しての大きな課題。
そもそも出来るのかもわからん。
株価予測 【連続系】MATLAB、Pythonで株価予測 その64【フーリエ変換①】
さらに適切な周波数を特定できないか検討。
10[Hz]じゃなくて9.7[Hz]が実はより適切だったかも。とか。
入力サンプリング期間を延ばせば、見た目の周波数より細かい周波数特性は出せる。
問題は期間の伸ばし方。
0埋めで伸ばす場合、0埋めがあまり多すぎると元データと乖離する。
サンプリング間の補間もまぁまぁメンドイ。
株価予測 【FFTへ】MATLAB、Pythonで株価予測 その8【至る道⑥】
フーリエ変換とフーリエ逆変換のもう一つのバリエーションである、数式対称性について。
3パターンある。
1/2πをどちらが持つかって違い。
1/√2πのように折半するパターンもある。
バリエーションを認識していないと異なるバリエーションの変換/逆変換の組み合わせを使用してしまい、元の波形に戻らない事故が発生する。
株価予測 【FFTへ】MATLAB、Pythonで株価予測 その7【至る道⑤】
フーリエ変換とフーリエ逆変換のバリエーション自体もバリエーションがある。
角周波数表現と周波数表現によるバリエーション。
数式対称性によるバリエーション。
角周波数表現は前回＆今回再掲したもの。
周波数表現は角周波数を単純に周波数の式を代入したもの。
角周波数は角速度のスカラー量。
株価予測 【FFTへ】MATLAB、Pythonで株価予測 その6【至る道④】
フーリエの積分公式は「とある関数を畳み込み積分を経ても同じ関数に戻せる」と証明されているもの。
複素フーリエ級数、複素フーリエ係数で証明可能だが、ここでは省略。
フーリエの積分公式の一部をフーリエ変換と定義した。
フーリエ変換の式をフーリエの積分公式に戻すことで逆フーリエ変換の式が完成。
株価予測 【FFTへ】MATLAB、Pythonで株価予測 その5【至る道③】
フーリエ変換、逆フーリエ変換の元ネタがフーリエの積分公式。
f(t)とf(x)は同じものだが、複素指数関数との畳み込み積分を経由しても等しい状態を作れることを示している。
複素指数関数はオイラーの公式より三角関数に展開可能。
畳み込み積分は三角関数とf(t)の内積を示しており、同一角周波数のみが取り出せる理屈。