フーリエ解析学

複素指数関数の直交性を評価できる式を確認。直交性をアニメーションgifで見てみた。この直交性を各ツール、各言語で確認してみる。

複素指数関数の積で直交するパターンを確認。結論としてはn≠mの時に直交する。オイラーの公式と三角関数の性格から特定ができる。

複素指数関数同士の積の積分の式を提示。n=mの時の解を確認。複素指数関数でn=mの時は直交しない。

複素フーリエ係数の話に突入。複素フーリエ係数に至る道を提示。複素指数関数の積を確認。

複素フーリエ級数を導出した。最終的にはシンブルな式に。実際に利用しようと思うと、複素フーリエ係数とセットなので、しばらく待ち。

実数フーリエ級数にsin,cosを福祉指数関数で表現する公式を代入。ここでも「虚数で割ることが負の虚数を掛けることが同一」って理屈を使う。変数の極性を入れ替えた上で、Σの極性を入れかえれば同じものとなる。フーリエ係数であることを前提とした場合、極性の特性を定められる。

実数フーリエ級数を複素フーリエ級数にするためにオイラーの公式を利用する。具体的にはcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現するため、連立方程式を解いた。

複素フーリエ級数を導出した。最終的にはシンブルな式に。実際に利用しようと思うと、複素フーリエ係数とセットなので、しばらく待ち。

前回のフーリエ級数を複素指数関数で表現した式を変形。変数の極性を入れ替えた上で、Σの極性を入れかえれば同じものとなる。フーリエ係数であることを前提とした場合、極性の特性を定められる。