フーリエ解析学

m=nの時のsin関数の内積を求める。分母が0になるため、極限値を利用する。結果としてはπになる。つまり、同じ角周波数のsin同士の内積は必ずπになる。

sin関数同士の直交性を確認。sin同士の積和公式の定積分を元に解いていく。最終的にはsinが0になるので、内積の結果も0となる。結果としてsin関数同士は直交していることになる。

sinとcosの内積と畳み込み積分を考える。奇関数、偶関数の特性より、sin、cosの畳み込み積分は0となる。畳み込み積分が0ということは内積も0になる。内積が0ということは直交しているということになる。

直交性とは2つのベクトルが垂直に交わることを指す。直交しているベクトルの内積は必ず0になる。cos関数の影響。成分表記の内積でも0になることを確認。

はさみうちの原理について説明。sinc関数について説明＆MATLABでプロットしてみた。(Pythonコードも)

円に接する三角形と扇形の面積の不等式を最適化。いろいろ弄っていくと、はさみうちの原理により1が求められる。

重要な極限値について説明。sin(x)/xのxを0に近づける極限値。まずは円に接する三角形と扇形に着目する。これが先ほどの極限値にどうつながるかは次回。

sin,sinの積和公式を導出。積和公式をフーリエ係数に向けて変形。α,βをαx,βxにするだけ。

三角関数の加法定理の組み合わせで積和公式が導出できる。sin,cosの積和公式とcos,cosの積和公式を導出してみた。

三角関数の加法定理を確認。偶関数、奇関数を利用すると、βにマイナス符号が付いた加法定理の式も導出できる。