フーリエ解析学

cos関数同士の直交性を確認。結果としてcos関数同士は直交していることになる。m=nの時のcos関数の内積を求める。分母が0になるため、極限値を利用する。結果としてはπになる。つまり、同じ角周波数のcos同士の内積は必ずπになる。

sin関数同士の直交性を確認。結果としてsin関数同士は直交していることになる。m=nの時のsin関数の内積を求める。分母が0になるため、極限値を利用する。結果としてはπになる。つまり、同じ角周波数のsin同士の内積は必ずπになる。

直交性とは2つのベクトルが垂直に交わることを指す。直交しているベクトルの内積は必ず0になる。奇関数、偶関数の特性より、sin、cosの畳み込み積分は0となる。畳み込み積分が0ということは内積も0になる。内積が0ということは直交しているということになる。

重要な極限値について説明。まずは円に接する三角形と扇形に着目する。はさみうちの原理により1が求められる。sinc関数について説明＆MATLABでプロットしてみた。(Pythonコードも)

三角関数の加法定理の組み合わせで積和公式が導出できる。sin,cos、cos,cos、sin,sinの積和公式を導出してみた。積和公式をフーリエ係数に向けて変形。α,βをαx,βxにするだけ。

三角関数の加法定理を確認。偶関数、奇関数を利用すると、βにマイナス符号が付いた加法定理の式も導出できる。

前回までの数式パズルの力業的解法と関数の内積はほぼ同一の考え方。関数を無限次元ベクトルを解釈すると、関数の内積は関数の積の定積分として表現される。

三角関数の直交性のまとめ。各種式を確認。直交性具合をアニメーションで確認。三角関数の畳み込みをプログラムでやっている予定。

m=nの時のcos関数の内積を求める。分母が0になるため、極限値を利用する。結果としてはπになる。つまり、同じ角周波数のcos同士の内積は必ずπになる。

cos関数同士の直交性を確認。cos同士の積和公式の定積分を元に解いていく。最終的にはsinが0になるので、内積の結果も0となる。結果としてcos関数同士は直交していることになる。