【FFT】MATLAB、Pythonで株価予測 その23【IFFT②】

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はじめに
登場人物
sin波でFFT、IFFT
実験コードの結果
複素共役
まとめ

はじめに

FFT、IFFTの入出力って実は良く分かってないようなので、
自明且つシンプルな波形を入れて評価してみることに。
自明且つシンプルな波形はsin波とかそれらの合成波。

これらをこれから試していく。

登場人物

博識フクロウのフクさん

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

sin波でFFT、IFFT

太郎くん

とりあえず今回からFFT、IFFTに対して
「自明且つシンプルな波形を入れて評価」
ってのをやるんだよね？

フクさん

その通り。

フクさん

まずは基本中の基本であるsin波を入れてみよう。
とりあえず実験的にこさえたMATLABコードが以下だ。

N=1024;
L=pi;
x=linspace(-L,L,N);
k=0:N-1;
ft=sin(x);

subplot(4,1,1);
plot(x,ft);
title('f(t)');

Fw=fft(ft);
subplot(4,1,2);
plot(k,abs(Fw));
title('F(\omega)');

subplot(4,1,3);
plot(k(1:10),abs(Fw(1:10)));
title('F(\omega) expansion');

fx=ifft(Fw);
subplot(4,1,4);
plot(x,fx);
title('f(x)');

実験コードの結果

太郎くん

じゃ、とりあえず実行して結果を見てみよう。

MATLABでsin波をFFT＆IFFT、f(t)、F(ω)、Fωexpansion、f(x)

太郎くん

1番上がFFTに入力するsin波で
2番目がそのFFTからの戻りになるのかな？
3番目がFFTの戻りを拡大してる。
1周期のsin波だから1[Hz]が取り出せてることを示していると思う。
4番目がIFFTで元のsin波に戻してる。
ってところかな。

フクさん

まぁ正解だな。

太郎くん

ちょっと気になったのは2番目のFFTの戻りって、1のところも起ってるようだけど、
1000を超えた、たぶん1023のところもなんか立ってるよね？
これってなんだっけ？

複素共役

フクさん

複素共役だな。
FFTに限らず複素フーリエ係数由来のものすべてに当てはまるのだけど、
複素指数関数の虚数部を相殺するための係数がセットで出てくるんだよ。

フクさん

試しに、FFTの出力であるFwを先頭10個、末尾9個を取り出してみよう。

>> Fw(1:10)'

ans =

   1.0e+02 *

   0.0000          
  -0.0157 - 5.1175i
   0.0000 + 0.0067i
   0.0000 + 0.0038i
   0.0000 + 0.0027i
   0.0000 + 0.0021i
   0.0000 + 0.0017i
   0.0000 + 0.0015i
   0.0000 + 0.0013i
   0.0000 + 0.0011i

>> Fw(end:-1:end-8)'

ans =

   1.0e+02 *

  -0.0157 + 5.1175i
   0.0000 - 0.0067i
   0.0000 - 0.0038i
   0.0000 - 0.0027i
   0.0000 - 0.0021i
   0.0000 - 0.0017i
   0.0000 - 0.0015i
   0.0000 - 0.0013i
   0.0000 - 0.0011i

太郎くん

んー、実数部は一緒だけど、虚数部が真逆になってる？

フクさん

これにより、逆変換後に実数のみになるようになってる。
さっきも言ったけど、これは複素フーリエ係数由来の仕様だ。
人間がパワースペクトルで見る場合は、
FFTの出力データの前半分を絶対値として見ることで周波数の分布を見ることになるね。
後半の複素共役はIFFTで元の波形に戻す時に必要な情報ってところだ。
つまり、特定の周波数だけを取り出したい場合は、この複素共役の部分も一緒に取り出してあげないと、IFFT後に減衰したり、位相がズレたりしちゃうね。