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はじめに
前回まででフーリエ変換と逆フーリエ変換の超大雑把な概要は説明。
逆フーリエ変換はフーリエ逆変換と表記されることもあるが、本記事群では「逆フーリエ変換」で統一。
フーリエ変換と逆フーリエ変換の組み合わせでバンドパスフィルタが実現する話もした。
注意点としては、フーリエ変換、逆フーリエ変換にバリエーションがあること。
実際にフーリエ変換、逆フーリエ変換の数式を見て確認する。
・・・と思ったがその前にもいろいろある・・・。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
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エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
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フーリエの積分公式
そして今回はフーリエ変換の数式を見るのか・・・。
魔境臭半端無い・・・。
実はその前に見てもらいたい数式がある。
\( \displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \{ \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \}e^{i\omega x}d\omega \)
なんじゃこりゃーーーー！！！！！
これは「フーリエの積分公式」と言うもので、
フーリエ変換、逆フーリエ変換の元ネタとなってるものだな。
この公式自体は複素フーリエ級数、複素フーリエ係数を元に導出するのだが、
ここではその話は省略しておこう。
というか、これ、何を示してる式なの・・・。
\(f(x)\)ってなに？\(f(t)\)ってなに？
若干語弊はあるが、
\(f(x)\)と\(f(t)\)は同じものだな。
は？
同じもの？
同じものだったら
\(f(x)=f(t)\)
って表現すれば良いんじゃないの？
同じものを複素指数関数との畳み込み積分を経て、
また同じものに戻ってくるってのが重要なんだよね。
複素指数関数はオイラーの公式が有名
オイラーの公式
オイラーの公式ってなんじゃい！
(オイラーの公式を知らんのか・・・。まぁ知らんでもなんとかなるしな)
オイラーの公式はこんなん。
\(e^{i\theta}=cos(\theta)+i sin(\theta)\)
ここの\(\theta\)は角度で、
\(i\)は虚数だよね？
そうそう。
複素指数関数は三角関数で表現し直せるという便利な公式だ。
これも証明方法があるんだけど、ここでは省略だ。
(説明されてもたぶんわからん)
再びフーリエの積分公式
そして、フーリエの積分公式に話は戻るが、
三角関数による畳み込み積分って関数同士の内積ってことなる。
異なる角周波数\(\omega\)の場合は直交成分として0になるので、
\(f(t)\)と様々な角周波数\(\omega\)の\(e^{i\omega t}=cos(\omega t)+i sin(\omega t)\)が抽出され、
それが連続的な関数として取り出せる。
それに対して再度畳み込み積分を掛けると元に戻せる。
ってのが大雑把な理屈だ。
・・・マジ何言ってるのかわからん・・・。
まぁここはいろいろな概念の集合で成り立ってる話なので、
聞き流してもらってOKだよ・・・。
(全部聞き流したいのだが・・・。)
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ変換、逆フーリエ変換の元ネタがフーリエの積分公式。
- f(t)とf(x)は同じものだが、複素指数関数との畳み込み積分を経由しても等しい状態を作れることを示している。
- 複素指数関数はオイラーの公式より三角関数に展開可能。
- 畳み込み積分は三角関数とf(t)の内積を示しており、同一角周波数のみが取り出せる理屈。
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