積の微分公式
ここでは積の微分公式の話になる。
これも後ほど出てくる商の微分公式に必要なものになる。
一言でいうと
「関数同士の積の微分がどう変形できるか」
という公式。
先に公式を出しておこう。
\(
\{f(x)g(x)\}\prime=g\prime(x)f(x)+f\prime(x)g(x)
\)
これも意味わからんものが意味わからんものに変形されてるだけに見えるかもしれないが、
これもあとで使うものだからとりあえず覚えておいて。
くらいしか言えない。
積の微分公式の導出
これの導出方法はシンプルではあるが、少しトリッキーなことをする。
以下が導出過程になる。
\(
\displaystyle\{f(x)g(x)\}\prime=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}
\)
ここで、\(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\)を変形する。
\(
\begin{eqnarray}
&&f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\\
&=&f(x+h)g(x+h){\color{red}-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)}-f(x)g(x)
\end{eqnarray}
\)
赤文字のところを追加したのだけど、この部分は同じものを引いてから足してるので0。
つまり、式の解としては変化しないはずのものになる。
この部分が先ほど言ったトリッキーな部分となる。
そして、これを整理する。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle\{f(x)g(x)\}^\prime&=&\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot f(x+h)+\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)\\
&=&g\prime(x)f(x)+f\prime(x)g(x)
\end{eqnarray}
\)
と言う感じで積の微分公式が求まる。
まとめ
- 最適化アルゴリズムを使用するには連鎖律が必要。
- 連鎖律を把握するための知識を列挙。
- まずは逆数の微分公式。
- 積の微分公式を導出。
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