親子で発見！学びの楽しさ#1(つるかめ算、連立方程式、逆行列)

高校生的解法(逆行列)
まとめ

高校生的解法(逆行列)

ここから、親御さんのトラウマゾーンに突入。
ブラウザバックしちゃう人もいるかもしれない・・・。

ただ、逆行列を習うのは数学Cという高校数学の中でもかなり高度なものに位置付けされる。
よって、文系だった人は必須科目ではなく、選択科目として扱われるが故に、
そもそも習っていない可能性はある。
よって、知らないことの方が普通と思って良いでしょう。

先ほどの連立方程式を行列とベクトルで表現するとこうなる。

\(
\begin{bmatrix}
1&1\\
2&4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
20\\
56
\end{bmatrix}
\)

意味不明にみえるかもしれない。

実はこれ、連立方程式で書いたものと一緒だったりする。
ここらへんの話は、以前書いた、「行列の存在意義」という記事にあるので、
興味ある人は一読してみてください。

【入門】行列の存在意義【数値計算】

簡単に行列の存在意義を説明。当然、連立方程式以外にも利用シーンは多数あるが、まずはシンプルなもので。逆行列は掃き出し法で求められる。ただし、ツール、言語側で逆行列を求めれる機能が入っていることが多いので自身で計算することは少ない。連立方程式は複数の関数の交点を求めている。

行列とベクトルも計算ルールに合わせて展開すると、こんな感じになり、

\(
\begin{eqnarray}
&x&+&y&=&20\\
2&x&+4&y&=&56
\end{eqnarray}
\)

表現の仕方が違うだけで、意味は全く一緒になる。

この行列とベクトルの演算を元にx,yを求めてみると・・・。

\(
\begin{eqnarray}
A=
\begin{bmatrix}
1&1\\
2&4
\end{bmatrix},
B=
\begin{bmatrix}
20\\
56
\end{bmatrix},
X=
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\\
AX&=&B\\
両辺にAの逆行列A^{-1}を掛ける\\
A^{-1}AX&=&A^{-1}B\\
A^{-1}Aは単位行列になって消える\\
X&=&A^{-1}B
\end{eqnarray}
\)

ここで2次の正方行列の逆行列の公式を確認

\(
\begin{eqnarray}
2次の正方行列の逆行列の公式\\
C&=&
\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}\\
C^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{bmatrix}\\
\end{eqnarray}
\)

ここまで情報が揃ったら、あとは普通に計算するだけ。

\(
\begin{eqnarray}
A&=&
\begin{bmatrix}
1&1\\
2&4
\end{bmatrix}\\
A^{-1}&=&\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
4&-1\\
-2&1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2&-0.5\\
-1&0.5
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}&=&
A^{-1}B=
\begin{bmatrix}
2&-0.5\\
-1&0.5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
20\\
56
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
12\\
8
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
\)

よって、ツルが12羽でカメが8匹。

行列の計算がそもそもめんどすぎ！
つるかめ算を返せ！

と思うかもしれないが・・・。

実は、プログラムで解く際は、行列の方が都合が良い。
Pythonで書くとこんな感じで解ける。

import numpy as np

# 係数行列
A = np.array([[1, 1], 
              [2, 4]])

# 定数ベクトル
B = np.array([20, 56])

# 係数行列の逆行列を計算
A_inv = np.linalg.inv(A)

X=A_inv@B

print(X)

[12.  8.]

行列とベクトルで表現されたものはプログラムで解くことが可能になる。
しかも、変数も二元である必要はなく、この構成がとれるものであれば全て解けてしまう。

\(
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{bmatrix}
\)