【再掲】先ほどの定積分の結果
先ほどの定積分の結果は以下のようになった。
\(
\displaystyle\cos(mx)\cdot\cos(nx)=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=0
\)
つまり、cos関数同士は直交している。
これも、m=nの場合が問題となる。
でも、式の感じからすると、
sin関数の時とアプローチは一緒になることは良そうに固い。
m+nが分母の方の式は\(\sin(\alpha x)=0\)であるので消える。
よって気にしなくてよい。
m-nが分母になっているところが、解無しになるので解決する必要がある。
そこで重要な極限値ってを利用する。
【再掲】重要な極限値
重要な極限値はこれ。
\(
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=0
\)
これも\(x\)を\((m-n)\)として計算する。
結果としてはsin関数の時と全く一緒になる。
\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\lim_{(m-n)\to 0}\frac{\sin\{(m-n)\pi\}}{m-n}\\
&=&\displaystyle\lim_{\alpha\to 0}\frac{\sin(\alpha\pi)}{\alpha}\pi\\
&=&1\cdot\pi\\
&=&\pi
\end{eqnarray}
\)
よって、答えは\(\pi\)
0ではないけど、\(\pi\)になる。
ここらへんの性格はsinもcosも一緒ってことになる。
これらから言えることは、sinもcosも同一の角周波数であれば
\(\pi\)として抽出できることと、
異なる角周波数であれば、0として抑制できると言える。
まとめ
- cos関数同士の直交性を確認。
- 結果としてcos関数同士は直交していることになる。
- m=nの時のcos関数の内積を求める。
- 分母が0になるため、極限値を利用する。
- 結果としてはπになる。
- つまり、同じ角周波数のcos同士の内積は必ずπになる。
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