マクローリン級数
マクローリン級数は、
テイラー級数の拡張版みたいな話は良くと思う。
しかし、
拡張版とは言われているが、
どちらかというを制限版という認識の方が近いだろう。
というわけで、実はテイラー級数よりもシンプルになってる。
テイラー級数の任意の点\(x_0\)を原点、つまりは\(x_0\=0)としたものがマクローリン級数。
テイラー級数とマクローリン級数を並べると分かり易いだろう。
テイラー級数
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(x_0)+\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^\prime\prime(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(x_0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\end{eqnarray}
\)
マクローリン級数
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
\)
こんな感じでむっちゃシンプルになってる。
というわけで、拡張版と身構えず、制限版と捉えてシンプルになったもとを思えばOK。
まとめ
- いままでやってきたのは実数フーリエ。
- 複素フーリエに至る道を記載。
- テイラー級数について説明。
- テイラー級数とマクローリン級数を比較。
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