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はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その12【最小二乗法⑪】
を書き直したもの。
1次関数最小二乗法の係数算出の式をMATLABを使用して実現。
1次関数最小二乗法 算出式【再掲】
まずは以前導出した、1次関数最小二乗法の係数算出の式を再掲する。
\(a,b\)を逆行列で算出
\(
\begin{bmatrix}
a \\
b
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\sum x_i^2 && \sum x_i \\
\sum x_i && \sum 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
\sum x_i y_i \\
\sum y_i
\end{bmatrix}
\)
\(a,b\)を\(\sum\)で算出
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle a&=&\frac{n\sum x_i y_i – \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 – (\sum x_i)^2} \\
\displaystyle b&=&\frac{-\sum x_i \sum x_i y_i + \sum x_i^2 \sum y_i}{n\sum x_i^2 – (\sum x_i)^2}
\end{eqnarray}
\)
これをpolyfitを使用せずに実現する。
MATLABコード
MATLABコードは以下となる。
function y=LeastSquares_test()
x=[0.51, 0.76, 1.06, 1.41, 1.75, 1.9, 2.01, 2.15, 2.27, 2.4, 2.49, 2.59, 2.67, 2.76, 2.83, 2.89, 2.95, 3.01, 3.05, 3.11, 3.15, 3.19, 3.23, 3.28, 3.31, 3.34, 3.38, 3.4, 3.43, 3.46, 3.49, 3.51];
y=[10, 11, 12, 13, 14, 14.5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40];
% Σで計算
disp('Σで計算');
n = length(x);
denominator = n*sum(x.^2)-sum(x)^2;
a=(n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/denominator;
b=(-sum(x)*sum(x.*y)+sum(x.^2)*sum(y))/denominator;
s = sprintf('a=%f,b=%f\n', a,b);
disp(s);
% 行列計算
disp('行列計算');
V_ab = inv([sum(x.^2), sum(x) ; sum(x), n])*[sum(x.*y) ; sum(y)];
s = sprintf('a=%f,b=%f\n', V_ab(1),V_ab(2));
disp(s);
xp = linspace(0, 4, 400);
plot(x, y, '+', xp, a*xp+b, '-' );
ylim([10,41]);
xlim([0,4]);
end
結果
処理結果は以下になる。
Σで計算
a=10.133034,b=-2.161664
行列計算
a=10.133034,b=-2.161664polyfitを使用した時と同一と判断できる結果が取得できる。
まとめ
- 1次関数最小二乗法の係数算出の式を元にMATLABで実装。
- polyfitと同じと解釈できる結果が得られた。
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