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はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その19【関数の内積】
を書き直したもの。
フーリエ係数に至る道。
今回は関数の内積について。
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は関数の内積について説明する。
前回までの数式パズルの力業的解法について
いまさらだけど、
前回までの数式パズルの力業で解くのは、
はちょっと横道にそれ過ぎな感じもしなくもない。
が、
実は、今回の関数の内積とかなり密接な話となる。
これを想定して力業をやった面もある。
関数の内積
関数の内積は、前回の数式パズルを力業で解いたのとほぼ同じような話になる。
関数を無限次元ベクトルと解釈すると、
関数の内積の計算ができる。
関数の内積の定義は以下となる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot g(x)&=&\int_{-L}^L f(x)g(x)dx\\
&=&
\begin{bmatrix}
f(x_1)&\dots&f(x_n)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
g(x_1)\\
\vdots\\
g(x_n)
\end{bmatrix}dx\\
&=&
\{f(x_1)g(x_1)+\dots+f(x_n)g(x_n)\}dx
\end{eqnarray}
\)
前回まででやってた力業に相当する話
フーリエ係数との関係性
そして当然、関数の内積はフーリエ係数と関係性がある。
具体的には三角関数との内積が重要になる。
\(
\displaystyle f(x)\cdot\cos(x)=\int_{-L}^L f(x)cos(x)dx
\)
現時点ではまだ理解できない可能性はあるが、
関数の内積といえばこれってのは覚えてばOK。
まとめ
- 前回までの数式パズルの力業的解法と関数の内積はほぼ同一の考え方。
- 関数を無限次元ベクトルを解釈すると、関数の内積は関数の積の定積分として表現される。
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