面積の不等式を最適化していく。
各面積の関係性はこのようになることを示した。
\(
{\color{orange}三角形OAB}<{\color{green}扇形OAB}<{\color{blue}三角形OBC}
\)
そして、これを具体的な面積を求める式を当てはめると以下になる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle\frac{1}{2}\sin(x)<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan(x)\\
\sin(x)< x<\tan(x)
\end{eqnarray}
\)
全体を\(\sin(x)\)で割る。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{\tan(x)}{\sin(x)}\\
\displaystyle 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)}\\
\end{eqnarray}
\)
2行目のcosがどこから来たのか疑問に思うかもしれない。
実は以下が成立する。
\(\displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
これを代入すると先ほどの2行目の式になる。
そして、この不等式全体を逆数にする。
逆数にすると、不等式の向きが逆になる。
\(
\displaystyle 1 > \frac{\sin(x)}{x} > \cos(x)
\)
上記に加え、
\(
\displaystyle \lim_{x\to0}\cos(x)=1
\)
不等式のはさみうちの原理により、
\(
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1
\)
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