フーリエ係数を求めるための一般化した式達
結局、一般化した式は以下3つとなる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\\
\displaystyle b_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\\
\displaystyle a_0&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\end{eqnarray}
\)
これらを使用して、フーリエ係数を求めるからしっかりと覚えておこう。
a0が1/2されていた理由
ここで、フーリエ級数で\(a_0\)が1/2されていた理由を説明しておこう。
以前説明した時は、何かしら理由があるけど、あとで説明みたいにお茶を濁した。
仮に、フーリエ級数の\(a_0\)が1/2されていない場合、
\(a_0\)を求める式は以下になる。
\(
\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\)
他の係数を求める式は\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\)になってることに対して、
\(a_0\)だけが\(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)になる。
それでも求められるから、別になんでも構わないのだが、
式が切り揃っていないというのも気持ち悪いから1/2している。
という感じになる。
実際は\(a_0\)を平均値として扱いたいからなどの理由もある。
\(0\sim\pi\)であれば、\(\pi\)で割れば平均値なのだが、
\(-\pi\sim\pi\)の定積分の都合\(2\pi\)で割らないと平均値にならない。
だったら、最初から1/2しとこうってことになる。
1/2しても役割は特に変わらないから、使いやすい数値にするために、数式を弄るということはよくあること。
まとめ
- フーリエ係数を求める一般化された式のまとめ。
- a0が1/2されている理由を説明。
- フーリエ係数のbnを求める式の一般化。
- ついでにa0を求める式も一般化。
- 常に1のような定数関数は畳み込み積分に於いては矩形波をイメージすると認識しやすい。
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