【入門】フーリエ係数③【数値計算】

• 偶関数
• 奇関数
• 関数の内積
• 三角関数の加法定理
• 三角関数の積和公式
• 重要な極限値
• 三角関数の直交性
• フーリエ係数

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot\sin(nx)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot\sin(nx)\\
\displaystyle &=&\frac{a_0}{2}\cdot\sin(nx)+\dots+{\color{red}b_n\sin(nx)\cdot\sin(nx)}+\dots\\
&=&b_n\sin(nx)\cdot\sin(nx)\\
&=&b_n\pi\\
\displaystyle\therefore b_n&=&\frac{f(x)\cdot\sin(nx)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot 1&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot 1\\
\displaystyle &=&{\color{red}\frac{a_0}{2}\cdot 1}+a_1\cdot\cos(x)\cdot 1+\dots\\
\displaystyle &=&\frac{a_0}{2}\cdot 1=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx=\frac{a_0}{2}2\pi=a_0\pi\\
\displaystyle\therefore a_0&=&\frac{f(x)\cdot 1}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\end{eqnarray}
\)