フーリエ係数を求める式の一般化
先ほどは、フーリエ係数の\(a_1\)を求めるのをやった。
実際には\(a_n\)のnは\(\infty\)までということになってる。
というわけで、フーリエ係数を求める式の一般化が必要と言うことになる。
フーリエ係数を求める式の一般化(cos関数)
一般化というと、\(a_1\)以外にも適用可能な式を求めるってことになる。
前回の流れを知って居れば、それほど難しくはない。
まずはcos関数に着目したもの。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot\cos(nx)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot\cos(nx)\\
\displaystyle &=&\frac{a_0}{2}\cdot\cos(nx)+a_1cos(x)\cdot\cos(nx)+\dots+{\color{red}a_n\cos(nx)\cdot\cos(nx)}+\dots\\
&=&a_n\cos(nx)\cdot\cos(nx)\\
&=&a_n\pi\\
\displaystyle\therefore a_n&=&\frac{f(x)\cdot\cos(nx)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx
\end{eqnarray}
\)
数式の流れとしては、前回\(a_1\)を求めるときと一緒。
この式を使えば、どの\(a_n\)でも求められるということになる。
これが一般化ということになる。
まとめ
- フーリエ係数anを求める式の一般化。
- 流れとしては前回のa1を求める式と同じ。
- フーリエ係数を求める雰囲気を感じ取るため、係数a1のみに着目。
- 三角関数の直交性を利用すると、フーリエ級数の各項のほとんどが0となる。
- それを使用して係数a1を求める式を導出できる。
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