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【入門】フーリエ係数①【数値計算】

数値計算

【入門】フーリエ係数①【数値計算】

2024.09.30

目次

三角関数の直交性を利用した三角関数成分の抽出
まとめ

三角関数の直交性を利用した三角関数成分の抽出

先ほど、ベクトルの成分の抽出の話をしたが、
それと、三角関数の直交性を組み合わせると、
三角関数成分の抽出が抽出可能となる。

この話は正直文章では認識しずらい部分になる。
図示するのと数式で表現してみよう。
まず、以下の三角関数を持った関数があったとする。

$a \cdot \cos (x) + b \cdot \sin (x)$

この関数から、\(\cos,\sin)のそれぞれの成分を抽出したい。

抽出という言葉自体は、ベクトルの成分を抽出と似たようなこと言っているが、
うまく話が繋がらない。

ここで、横軸を $\cos (x)$ 、縦軸を $\sin (x)$ とする平面を考え、
そこに先ほどの関数をベクトルとしておくと以下のように描ける。

三角関数の直交性による成分抽出、sin(x)、cos(x)、bπ、aπ

具体的にイメージしずらいとは思うが、
この平面は成立する。
少なくとも $\cos (x)$ と $\sin (x)$ は直交しているので、成立する。

これをベクトル演算を用いて、成分を抽出しようとすると以下の式になる。

$\begin{array}{rcl} [\begin{array}{c} a \cdot \cos (x) & b \cdot \sin (x) \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \cdot \cos (x) \\ 0 \end{array}] & = & a π \\ [\begin{array}{c} a \cdot \cos (x) & b \cdot \sin (x) \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \cdot \sin (x) \end{array}] & = & b π \end{array}$

平面に記載して、
その基本ベクトルを元に抽出だから、
抽出できるという理屈となる。

$\cos (x), \sin (x)$ を軸に取る部分がイメージしずらいと思うが、
重要なのは、同一の軸の基本ベクトルとの内積であれば、その成分が抽出できるという事実。
この点だけ覚えておけば良いだろう。

まとめ

前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式を再確認。
ベクトルの内積によるベクトル成分抽出のイメージを説明。
三角関数の直交性を利用した三角関数成分の抽出について説明。
イメージしずらい概念だが、関数の成分を抽出できるという事実に着目すると良い。

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