複素指数関数のマクローリン展開の変形
先ほどの式をいろいろ変形していく。
\(i^2=-1\)であるが故の変形だということを意識して欲しい。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle e^{ix}&=&{1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\dots}\\
\displaystyle &=&1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}+\dots\\
\displaystyle &=&\bigg( 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots\bigg)+i\bigg(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots\bigg)
\end{eqnarray}
\)
って感じで実数部と虚数部に分解できる。
この実数部と虚数部、見おぼえがないだろうか？
これらは、cos関数とsin関数のマクローリン展開したものと同一。
つまり、以下にまとめられる。
\(
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
\)
という感じでオイラーの公式になる。
ついでに、このオイラーの公式を少し変形させる。
\(
e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)
\)
cos関数は偶関数なので、引数の符号反転しても変化しない、
sin関数は奇関数なので、符号反転する。
これを加味すると以下に変形できる。
\(
e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)
\)
この変形は、この後に出てくる
実数フーリエから複素フーリエの橋渡しの話や、
それ以降の話で大活躍する予定。
まとめ
- オイラーの公式の話に突入。
- 各種マクローリン展開を再掲。
- 指数関数のマクローリン展開に複素数を入れてみる。
- 複素指数関数のマクローリン展開を変形。
- オイラーの公式の変形。
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