【再掲】指数関数のcos関数、sin関数のマクローリン展開
まずは、指数関数、cos関数、sin関数のマクローリン展開を再掲しよう。
指数関数のマクローリン展開
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\\
\displaystyle e^x&=&1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\\
\displaystyle &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
\)
\(\cos(x)\)のマクローリン展開
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\\
\displaystyle \cos(x)&=&1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots\\
\displaystyle &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}
\end{eqnarray}
\)
\(\sin(x)\)のマクローリン展開
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\\
\displaystyle \sin(x)&=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots\\
\displaystyle &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{eqnarray}
\)
ここまでは前回まででやったところになる。。
指数関数のマクローリン展開に複素数を入れる
ここで複素指数関数\(e^{ix}\)のマクローリン展開を示す。
複素指数関数のマクローリン展開なんてやってない！
って思うかもしれないが、
通常のマクローリン展開の\(x\)を\(ix\)に変えるだけ。
以下になる。
\(
\displaystyle e^{ix}={1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\dots}
\)
あとは、これを変形していく。
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次のページから、複素指数関数のマクローリン展開の変形してオイラーの公式を導出する。
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