【入門】誤差逆伝播法(MATLAB)【数値計算】

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はじめに
誤差逆伝播法の各演算【再掲】
MATLABコード
処理結果
まとめ

はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第4章その80【誤差逆伝播法⑦】

を書き直したもの。

多層パーセプトロンの誤差逆伝播法を行う。
今回はMATLABで実現。

誤差逆伝播法の各演算【再掲】

まずは、前回求めた誤差逆伝播法の各演算を再掲。

隠れ層の重み\(W_2\)とバイアス\(b_2\)の勾配(\(\Delta W_2,\Delta b_2\))を特定

\(
\Delta W_2=\Delta_2 A_2
\)

\(
\Delta b_2=\Delta_2 1
\)

入力層の重み\(W_1\)とバイアス\(b_1\)の勾配(\(\Delta W_1,\Delta b_1\))を特定

\(
\Delta W_1=\Delta_1 X
\)

\(
\Delta b_1=\Delta_1 1
\)

各勾配から各重み、各バイアスを更新(学習率\(\mu\)を掛けておく)

\(
\begin{eqnarray}
W_1&=&W_1-\mu\Delta W_1\\
b_1&=&b_1-\mu\Delta b_1\\
W_2&=&W_2-\mu\Delta W_2\\
b_2&=&b_2-\mu\Delta b_2\\
\end{eqnarray}
\)

これをMATLABで実現する。

MATLABコード

MATLABコードは以下。

% シグモイド関数の定義
sigmoid = @(x) 1./(1 + exp(-x));

% シグモイド関数の導関数の定義
sigmoid_derivative = @(x) sigmoid(x).*(1 - sigmoid(x));

% データの準備
X = [0 0; 0 1; 1 0; 1 1]; % 入力データ
y = [0; 1; 1; 0]; % 出力データ

% ネットワークの構築
hidden_size = 2; % 隠れ層のユニット数
output_size = 1; % 出力層のユニット数
learning_rate = 0.5; % 学習率

input_size = size(X, 2);
W1 = randn(input_size, hidden_size); % 入力層から隠れ層への重み行列
b1 = randn(1, hidden_size); % 隠れ層のバイアス項
W2 = randn(hidden_size, output_size); % 隠れ層から出力層への重み行列
b2 = randn(1, output_size); % 出力層のバイアス項

% 学習
epochs = 4000; % エポック数

errors = zeros(epochs, 1); % エポックごとの誤差を保存する配列

for epoch = 1:epochs
    % 順伝播
    Z1 = X * W1 + ones(size(X, 1),1)*b1; % 隠れ層の入力
    A1 = sigmoid(Z1); % 隠れ層の出力
    Z2 = A1 * W2 + b2; % 出力層の入力
    A2 = sigmoid(Z2); % 出力層の出力

    % 誤差計算（平均二乗誤差）
    error = (1/size(X, 1)) * sum((A2 - y).^2);
    errors(epoch) = error;

    % 逆伝播
    delta2 = (A2 - y) .* sigmoid_derivative(Z2);
    delta1 = (delta2 * W2') .* sigmoid_derivative(Z1);

    grad_W2 = A1' * delta2;
    grad_b2 = sum(delta2);
    grad_W1 = X' * delta1;
    grad_b1 = sum(delta1);

    % パラメータの更新
    W1 = W1 - learning_rate * grad_W1;
    b1 = b1 - learning_rate * grad_b1;
    W2 = W2 - learning_rate * grad_W2;
    b2 = b2 - learning_rate * grad_b2;
end

% 決定境界線の表示
h = 0.01; % メッシュの間隔
[x1, x2] = meshgrid(min(X(:,1))-0.5:h:max(X(:,1))+0.5, min(X(:,2))-0.5:h:max(X(:,2))+0.5);
X_mesh = [x1(:) x2(:)];

hidden_layer_mesh = sigmoid(X_mesh * W1 + ones(size(X_mesh, 1),1)*b1);
output_layer_mesh = sigmoid(hidden_layer_mesh * W2 + b2);
y_mesh = round(output_layer_mesh); % 出力を0または1に丸める

figure;
decision_mesh = reshape(y_mesh, size(x1)); % 分類結果のメッシュを元のグリッドサイズに変形する
colormap([0.8 1 0.8; 1 0.8 0.8]); % カラーマップの順序を入れ替える
contourf(x1, x2, decision_mesh);
hold on;
scatter(X(y==1, 1), X(y==1, 2), 100, 'r', 'filled'); % クラス1のデータ点を赤でプロット
scatter(X(y==0, 1), X(y==0, 2), 100, 'g', 'filled'); % クラス0のデータ点を緑でプロット
xlabel('X1');
ylabel('X2');
title('XOR Classification');
legend('', 'Class 1', 'Class 0'); % クラスの順序を入れ替える
grid
hold off;