【入門】複素フーリエ級数②【数値計算】

• テイラー級数
• マクローリン級数
• 指数関数のマクローリン展開
• cos(x)のマクローリン展開
• sin(x)のマクローリン展開
• オイラーの公式
• 複素フーリエ級数

• オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
• 実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
• 代入した上で頑張って最適化する。
• Σの下限を\(-\infty\)、上限を\(\infty\)にする。

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
\cos(x)\\
\sin(x)
\end{bmatrix}&=&
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle\frac{1}{2i}&\displaystyle – \frac{1}{2i}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}\\
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\displaystyle\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\
\displaystyle\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\
\end{cases}
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1&i\\
1&-i
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
0.5&0.5\\
-0.5i&0.5i
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle-\frac{1}{2}i&\displaystyle\frac{1}{2}i
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
\)

\(
\displaystyle\frac{1}{i}=\frac{1\times i}{i\times i}=\frac{1i}{-1}=-1i
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1&i\\
1&-i
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
0.5&0.5\\
-0.5i&0.5i
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle-\frac{1}{2}i&\displaystyle\frac{1}{2}i
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle\frac{1}{2i}&-\displaystyle\frac{1}{2i}
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
\)