【入門】複素フーリエ級数①【数値計算】

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はじめに
【再掲】複素フーリエ級数に至る道
cos関数、sin関数を複素指数関数で表現する
オイラーの公式から複素フーリエ級数までのステップ
【再掲】オイラーの公式とその変形式
逆行列でcos関数とsin関数を解く
まとめ

はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その69【複素フーリエ級数①】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その70【複素フーリエ級数②】

を書き直したもの。

前回でオイラーの公式の導出の話が終わったところ。
今回から、複素フーリエ級数に向けての話になる。
オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。

【再掲】複素フーリエ級数に至る道

まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。

テイラー級数
マクローリン級数
指数関数のマクローリン展開
cos(x)のマクローリン展開
sin(x)のマクローリン展開
オイラーの公式
複素フーリエ級数

今回から、複素フーリエ級数に向けての話になる。

cos関数、sin関数を複素指数関数で表現する

話の流れとしては、オイラーの公式を利用して、
複素フーリエ級数を導出するとかって感じ。

まずは、オイラーの公式を再掲しよう

$e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x)$

つまり、指数関数と三角関数の相互変換が可能であることを示している。

これを利用して、cos関数、sin関数を複素指数関数で表現。
そして、そのcos関数、sin関数を使用している実数フーリエ級数に代入を狙う。

オイラーの公式から複素フーリエ級数までのステップ

先にオイラーの公式から複素フーリエ級数までのステップを示しておこう。

オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
代入した上で頑張って最適化する。
Σの下限を $- \infty$ 、上限を $\infty$ にする。

上二つは、なんとなくわかると思うが、
下2つは少しトリッキーな感じになる。
虚数で割ることをどう解釈できるか、
Σと中の関数の符号を反転とか出てくる。

【再掲】オイラーの公式とその変形式

オイラーの公式とその変形式を再掲しておこう。

オイラーの公式

$e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x)$

オイラーの公式の変形式

$e^{- i x} = \cos (x) - i \sin (x)$

2つの式があり、
求めたいのは $\cos (x)$ と $\sin (x)$ という二つの関数。
これを求めるにはどうしたらよいか？

なんとなく連立方程式とかになるような気がする。
$\cos (x)$ と $\sin (x)$ という関数に対して解けるのかが微妙な感じもしなくもない。。

結論としては、解きたい対象が関数か変数かは関係ない。
そして、連立方程式を解くには逆行列を使用するの手っ取り早い。
(逆行列を求めれば一撃で求められるのか。)

逆行列でcos関数とsin関数を解く

以下の流れで解ける。

$\begin{array}{rcl} [\begin{array}{c} e^{i x} \\ e^{- i x} \end{array}] & = & [\begin{array}{c} 1 & i \\ 1 & - i \end{array}] [\begin{array}{c} \cos (x) \\ \sin (x) \end{array}] \\ [\begin{array}{c} \cos (x) \\ \sin (x) \end{array}] & = & {[\begin{array}{c} 1 & i \\ 1 & - i \end{array}]}^{- 1} [\begin{array}{c} e^{i x} \\ e^{- i x} \end{array}] \\ = & \frac{1}{1 (- i) - 1 i} [\begin{array}{c} - i & - i \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} e^{i x} \\ e^{- i x} \end{array}] \\ = & \frac{1}{- 2 i} [\begin{array}{c} - i & - i \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} e^{i x} \\ e^{- i x} \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 i} & - \frac{1}{2 i} \end{array}] [\begin{array}{c} e^{i x} \\ e^{- i x} \end{array}] \end{array}$