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はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その84【複素フーリエ係数⑨】
を書き直したもの。
複素フーリエ係数のシリーズ。
いままでの式を元に複素フーリエ係数の式を導出する。
【再掲】複素フーリエ係数に至る道
まずは複素フーリエ係数に至る道を再掲。
- 複素指数関数の積
- 複素指数関数が直交していない状態
- 複素指数関数が直交している状態
- 複素指数関数の直交性の確認
- 複素フーリエ係数の導出
いままでの式を元に複素フーリエ係数の式を導出する。
これまでの数式
これまでの数式の組み合わせで複素フーリエ係数の数式を導出できる。
必要な式を再掲しておこう。
複素フーリエ級数
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}
\)
複素指数関数の直交性
\(
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(m-n)x}dx=
\begin{cases}
2\pi & (n =m) \\
0 & (n \neq m)
\end{cases}
\)
複素フーリエ係数導出
「複素フーリエ係数」を解析したい数式と見なし、
「複素指数関数の直交性」を利用して、
直交している部分を0に、直交していない部分だけを抽出する。
この発想は実数フーリエの時もやった。
数式は以下になる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx} \, dx
&=&\int_{-\pi}^{\pi} C_0 e^0 e^{-inx} \, dx +
\int_{-\pi}^{\pi} C_1 e^{ix}e^{-inx} \, dx +
\int_{-\pi}^{\pi} C_2 e^{i2x}e^{-inx} \, dx + \dots
\int_{-\pi}^{\pi} C_n e^{inx}e^{-inx} \, dx \\
&=& \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k-m)x} \, dx\\
&=&2\pi C_n
\end{eqnarray}
\)
この式を移項して、\(C_n\)を求める式にする。
\(
\displaystyle\therefore C_n \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx
\)
これが複素フーリエ係数を求める式ってことになる。
まとめ
- 複素フーリエ級数の数式を導出。
- 「複素フーリエ係数」を解析したい数式と見なし、「複素指数関数の直交性」を利用して、直交している部分を0に、直交していない部分だけを抽出する。
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