【入門】複雑な定積分(Python)【数値計算】

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はじめに
【再掲】フーリエ係数に至る道
【再掲】力業で解きたい数式
Pythonコード
処理結果
まとめ

はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その16【複雑な定積分⑥】

を書き直したもの。

フーリエ係数に至る道。
今回は偶関数と奇関数を利用した数学パズルを力業で解く方法をPythonで実現する。

【再掲】フーリエ係数に至る道

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

偶関数
奇関数
関数の内積
三角関数の加法定理
三角関数の積和公式
重要な極限値
三角関数の直交性
フーリエ係数

今回は偶関数と奇関数を利用した数学パズルを力業で解く方法をPythonで実現する。

【再掲】力業で解きたい数式

力業で解きたい数式は以下。

\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_{-2}^2\Big(x^3\cos(2x)+\frac{1}{2}\Big)\sqrt{4-x^2}dx\\
&=&\displaystyle\int_{-2}^2\Big(x^3\cos(2x)\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\Big)dx
\end{eqnarray}
\)

無限次元ベクトルであることを前提として、
今回の定積分を表現すると以下になる。

\(
\begin{eqnarray}
\Bigg(
\begin{bmatrix}
-2^3&\dots&2^3
\end{bmatrix}\odot
\begin{bmatrix}
\cos(2(-2))&\dots&\cos(2(2))
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sqrt{4-(-2)}\\
\vdots\\
\sqrt{4-(2)}\\
\end{bmatrix}\\+
\displaystyle\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
\sqrt{4-(-2)}&\dots&\sqrt{4-(2)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}
\Bigg)\Delta x
\end{eqnarray}
\)

Pythonコード

Pythonコードは以下。

import numpy as np

N=10000000  # 次元数
L=2-(-2)    # 定積分の範囲
dt=L/N      # Δx

x=np.linspace(-2,2,N)
y=(x**3*np.cos(x)@np.sqrt(4-x**2).T + np.sqrt(4-x**2)@np.ones((N,1))/2)*dt
print("%.15f"%(y[0]))