フーリエ解析学(導入編)
- 業務でフーリエ解析学に絡むところがやってるのでこれを第5章はフーリエ解析学をテーマとする
- 途中、フーリエと関係ない部分でもプログラム化して確認するなどをして理解しやすい状態で進める予定。
フーリエ級数
- フーリエ解析学は「フーリエ級数、係数」と「フーリエ変換、逆フーリエ変換」に分けられる。
- 「フーリエ級数、係数」も実数フーリエと複素フーリエに分けらえる。
- 無限級数について説明。
- 波の合成について説明。
- 単なる関数の足し算になる。
- フーリエ級数について説明。
- sin関数だけでなく、cos関数も使用する。
- a0/2はバイアスを想定した係数。
- プログラム化は、フーリエ係数の話の後に、フーリエ級数含めてプログラム化予定。
偶関数と奇関数
- フーリエ係数の話に突入。
- フーリエ係数へ至る道を説明。
- 偶関数について説明。
- 単純にy軸に対して線対称な関数。
- 奇関数について説明。
- 単純に原点に対して展対称な関数。
- 偶関数と奇関数の積の重要な特性について説明。
- 結論としては以下になるだけ。
- 偶関数×偶関数=偶関数
- 奇関数×偶関数=奇関数
- 奇関数×奇関数=偶関数
- 結論としては以下になるだけ。
複雑な定積分
- 偶関数、奇関数を駆使する数学パズルを実施。
- 細かいことは置いておいて、雰囲気のみでざっくり解説。
- 奇関数が確定すれば0にできる。
- 偶関数が確定すれば線対称を利用して積分範囲を半分にした上で2倍にすればOK。
- 前回の数学パズルを真面目に解いてみる。
- まずは平方根の関数の正体を探る。
- 偶関数、奇関数の特性を利用しまくって定積分を最適化しまくる。
- ほとんどが0に消えて、半円の方程式だけが残る。
- さらに偶関数の特性を利用して四分円にする。
- 半径2の円を四等分すれば答えが出る。
- 複雑な関数も無限次元ベクトルと見なすと力業で解くことが可能。
- 複雑な定積分を無限次元ベクトルとして表現。
- これをプログラムとして解いていく。
MATLAB
- 複雑な定積分をMATLABで求めた。
- 同様に円周率が答えとして算出。
- 小数点第6位まで一緒。
- Nを増やせばもっと精度は上がる。
Python
- 複雑な定積分をPythonで求めた。
- 同様に円周率が答えとして算出。
- 小数点第6位まで一緒。
- Nを増やせばもっと精度は上がる。
Scilab
- 複雑な定積分をScilabで求めた。
- 同様に円周率が答えとして算出。
- 小数点第6位まで一緒。
- Nを増やせばもっと精度は上がる。
Julia
- 複雑な定積分をJuliaで求めた。
- 同様に円周率が答えとして算出。
- 小数点第6位まで一緒。
- Nを増やせばもっと精度は上がる。
関数の内積
- 前回までの数式パズルの力業的解法と関数の内積はほぼ同一の考え方。
- 関数を無限次元ベクトルを解釈すると、関数の内積は関数の積の定積分として表現される。
まとめ
MATLAB,Python,Scilab,Juliaどれもとても優秀な電卓であり、シミュレータであり、データビューアとなる。
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