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はじめに
前回から、複素フーリエの任意周期化の話がスタート。
今回で具体的に周期2πから周期2Lへ置き換えをする。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ
今回は複素フーリエの任意周期化だね。
まずは、複素フーリエ級数と複素フーリエ係数を再掲しておこう。
複素フーリエ級数
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}
\)
複素フーリエ級数
\(
\displaystyle C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx
\)
横軸を置き換え
実数フーリエの時と同じだが、
\(2\pi\)を\(2L\)に変換する式を導出する。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{2L}{2\pi}t=\frac{L}{\pi}t\\
\therefore t&=&\frac{\pi}{L}x
\end{eqnarray}
\)
よって、周期を\(2L\)に解釈し直した複素フーリエ級数は以下になる。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{i\frac{n\pi x}{L}}
\)
同じように、周期を\(2L\)に解釈し直した複素フーリエ係数は以下となる。
\(
\displaystyle C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{L}}\,dx
\)
流れとしては実数フーリエの時と全く一緒か。
そうそう。
実数フーリエの段階でやってたことだから、
複素フーリエになってもすんなりと入ってくるだろう。
まとめ
まとめだよ。
- 複素フーリエを周期2πから周期2Lへ。
- 変換の流れは実数フーリエの時と全く同じ。
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