MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その84【複素フーリエ係数⑨】

• 複素指数関数の積
• 複素指数関数が直交していない状態
• 複素指数関数が直交している状態
• 複素指数関数の直交性の確認
• 複素フーリエ係数の導出

\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}
\)

\(
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(m-n)x}dx=
\begin{cases}
2\pi & (n =m) \\
0 & (n \neq m)
\end{cases}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx} \, dx
&=&\int_{-\pi}^{\pi} C_0 e^0 e^{-inx} \, dx +
\int_{-\pi}^{\pi} C_1 e^{ix}e^{-inx} \, dx +
\int_{-\pi}^{\pi} C_2 e^{i2x}e^{-inx} \, dx + \dots
\int_{-\pi}^{\pi} C_n e^{inx}e^{-inx} \, dx \\
&=& \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k-m)x} \, dx\\
&=&2\pi C_n
\end{eqnarray}
\)

\(
\displaystyle\therefore C_n \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx
\)