MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その71【複素フーリエ級数③】

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はじめに
登場人物
【再掲】複素フーリエ級数に至る道
【再掲】sin,cosを複素指数関数で表現する公式
MATLABで逆行列を検算
まとめ

はじめに

前回は、オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現した。
これについて、もう少し話を掘り下げる。

登場人物

博識フクロウのフクさん

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】複素フーリエ級数に至る道

太郎くん

まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。

テイラー級数
マクローリン級数
指数関数のマクローリン展開
cos(x)のマクローリン展開
sin(x)のマクローリン展開
オイラーの公式
複素フーリエ級数

太郎くん

さらに、複素フーリエ級数を導出するステップも再掲。

オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
代入した上で頑張って最適化する。
Σの下限を\(-\infty\)、上限を\(\infty\)にする。

フクさん

今回は、cos関数、sin関数を複素指数関数について少し掘り下げ。

【再掲】sin,cosを複素指数関数で表現する公式

フクさん

これが前回求めた公式

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
\cos(x)\\
\sin(x)
\end{bmatrix}&=&
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle\frac{1}{2i}&\displaystyle – \frac{1}{2i}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}\\
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\displaystyle\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\
\displaystyle\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\
\end{cases}
\end{eqnarray}
\)

太郎くん

まぁ、実数フーリエ級数に代入していくのだろうけど、魔境臭半端ないな・・・。

フクさん

その前にMATLABで逆行列を検算してみよう。

太郎くん

そっか。MATLABだったら、逆行列は一撃で求まるのか。

MATLABで逆行列を検算

フクさん

MATLABで演算させた結果は以下。

>> inv([1 1i; 1 -1i])

ans =

   0.5000             0.5000          
   0 - 0.5000i       0 + 0.5000i

太郎くん

んー？なんか違うような・・・。
式に起こし直すと・・・。

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1&i\\
1&-i
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
0.5&0.5\\
-0.5i&0.5i
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle-\frac{1}{2}i&\displaystyle\frac{1}{2}i
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
\)