MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その70【複素フーリエ級数②】

• テイラー級数
• マクローリン級数
• 指数関数のマクローリン展開
• cos(x)のマクローリン展開
• sin(x)のマクローリン展開
• オイラーの公式
• 複素フーリエ級数

• オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
• 実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
• 代入した上で頑張って最適化する。
• Σの下限を\(-\infty\)、上限を\(\infty\)にする。

\(
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
\)

\(
e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}&=&
\begin{bmatrix}
1&i\\
1&-i
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos(x)\\
\sin(x)
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
\cos(x)\\
\sin(x)
\end{bmatrix}&=&
\begin{bmatrix}
1&i\\
1&-i
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{1(-i)-1i}
\begin{bmatrix}
-i&-i\\
-1&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{-2i}
\begin{bmatrix}
-i&-i\\
-1&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}\\
&=&
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2}&\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle\frac{1}{2i}&\displaystyle – \frac{1}{2i}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{ix}\\e^{-ix}
\end{bmatrix}\\
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\displaystyle\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\
\displaystyle\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\
\end{cases}
\end{eqnarray}
\)