バックナンバーはこちら。
https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia5-backnumber/
はじめに
マクローリン展開のおおよその説明とプログラムによる確認をしたところ。
今回からオイラーの公式に突入する。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ級数に至る道
まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。
- テイラー級数
- マクローリン級数
- 指数関数のマクローリン展開
- cos(x)のマクローリン展開
- sin(x)のマクローリン展開
- オイラーの公式
- 複素フーリエ級数
今回からオイラーの公式に突入。
オイラーの公式は意味不明？
いきなりオイラーの公式と言われても魔境臭しか感じない・・・。
便利な公式ではあるんだよね。
ぱっと見意味不明なだけで。
そのぱっと見意味不明ってのが問題なんだよなぁ。
まぁ、この意味不明さを解消するために前回まででマクロリーン展開をやったわけだ。
オイラーの公式
まずオイラーの公式を見せよう。
\(
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
\)
なんか、指数関数に複素数が入っとる・・・。
それが、cos関数、sin関数に分解できる、便利な公式ともとれる。
その便利さがイマイチ伝わって来ない・・・。
それは、複素フーリエ以降で実感すると思うよ。
とくに実数フーリエから複素フーリエへの変換で大活躍だ。
(もう何言ってるのかわからん・・・。)
オイラーの公式の証明手順
ここでオイラーの公式の証明手順を示しておこう。
- 指数関数のマクローリン展開
- cos(x)のマクローリン展開
- sin(x)のマクローリン展開
- 複素指数関数のマクローリン展開を変形し、cos(x)とsin(x)のマクローリン展開を代入する。
あれ？
上3つはすでにやったよね？
正解。
よって、あとは、その3つを組み合わせればOKという状態まで来ている。
ということは、あと一歩ってところだったのか。
まとめ
まとめだよ。
- オイラーの公式の話に突入。
- オイラーの公式の証明に必要な情報はある程度揃ってる。
- 前回までにやった各種マクローリン展開が必要な情報。
バックナンバーはこちら。
マンガでわかるフーリエ解析
手を動かしてまなぶ フーリエ解析・ラプラス変換
物理数学 量子力学のためのフーリエ解析・特殊関数
単位が取れるフーリエ解析ノート
今日から使えるフーリエ変換 普及版 式の意味を理解し、使いこなす
コメント