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はじめに
前回、複素フーリエ級数に至る道を提示。
今回はテイラー級数から。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ級数に至る道
まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。
- テイラー級数
- マクローリン級数
- 指数関数のマクローリン展開
- cos(x)のマクローリン展開
- sin(x)のマクローリン展開
- オイラーの公式
- 複素フーリエ級数
今回は、テイラー級数。
テイラー級数
テイラー級数は、このシリーズの最初の方でも出したし、
他のシリーズでも何回か出てきているものだ。
任意の点の関数近似だっけか？
厳密には
「\(x,x_0\)の2点間が滑らかな関数の近似手法」
というところだな。
式に示すと以下になる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(x_0)+\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^\prime\prime(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(x_0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\end{eqnarray}
\)
制御とかの微分解法とかでよくお世話になったものだね。
そうそう。
n=1の1次解法はオイラー法(差分法)が代表的。
n=2の2次解法はホルン法(中心差分法)が代表的だね。
nを大きくすれば、それだけ精度は良くなるけど、演算負荷の問題があるから、
1次か2次あたり、多くても4次、5次あたりってのが多そう。
まぁ、テイラー級数の復習としてはこんなもので良いだろう。
本来であれば、既知の微分可能な関数、例えば三角関数とか指数関数で
テイラー級数の効果を確認するべきだが、
このあとのマクローリン級数で同じようなことをする予定だから、
ここでは省略だ。
まぁ、テイラー級数の効果は以前見てるから端折ってもらってもOKかな。
まとめ
まとめだよ。
- テイラー級数について説明。
- 数式も書き出し。
- 過去に何度か扱っているものなので実際の効果については確認しない。
- 代わりにマクローリン級数の時に実施予定。
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