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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回はフーリエ係数の話の続き。
三角関数の直交性を利用した成分抽出をフーリエ係数にどう繋げるかという話になる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回はフーリエ係数の話の続き。
三角関数の直交性を利用した成分抽出をフーリエ係数にどう繋げるかという話になる。
フーリエ係数を求める雰囲気
それではフーリエ係数を求めることになるのだが、
まずは全体的な雰囲気からだな。
どういう雰囲気か知らんけど、概要から話してもらえると助かる。
まずはフーリエ級数を再掲する。
ここの\(f(x)\)は任意の関数だ。
\(
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))
\)
確か、\(cos,sin\)の組み合わせであらゆる関数が表現できるって理屈だったね。
そして、\(a_1\)に着目し、この成分を抽出してみる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot\cos(x)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot\cos(x)\\
&=&\frac{a_0}{2}\cdot\cos(x)+{\color{red}a_1\cos(x)\cdot\cos(x)}+a_2\cos(2x)\cdot\cos(x)+\dots\\&+&b_1\sin(x)\cdot\cos(x)+\dots
\end{eqnarray}
\)
\(cos(x)\cdot\cos(x)\)以外は全部0になるので、以下だけが残る。
\(
\begin{eqnarray}
&=&a_1\cos(x)\cdot\cos(x)\\
&=&a_1\pi\\
\displaystyle\therefore a_1&=&\frac{f(x)\cdot\cos(x)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(x)dx
\end{eqnarray}
\)
こうやって、\(a_1\)という係数が求められる。
ちなみにベクトルの形式で抽出を表現すると以下になるな。
\(
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{a_0}{2}&a_1\cos(x)&a_2\cos(2x)&\dots&b_1\sin(x)&\dots
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\\cos(x)\\0\\\vdots\\0\\\vdots
\end{bmatrix}=a_1\pi
\)
なんだかよくわからんが、いい感じに求まった感じだけわかった！
(わかったのかわからないのかようわからんコメントだな・・・。)
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ係数を求める雰囲気を感じ取るため、係数a1のみに着目。
- 三角関数の直交性を利用すると、フーリエ級数の各項のほとんどが0となる。
- それを使用して係数a1を求める式を導出できる。
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