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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の直交性をPythonのNumPyで確認してみる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
太郎くん
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
フクさん
今回は三角関数の直交性をPythonで確認してみる。
【再掲】プログラムで確認する内容
太郎くん
以下をプログラムで確認。
- \(\sin(x)\cdot\cos(x)=0\)
- \(\sin(x)\cdot\cos(2x)=0\)
- \(\sin(x)\cdot\sin(x)=\pi\)
- \(\cos(2x)\cdot\cos(2x)=\pi\)
- \(\cos(x)\cdot\sin(2x)=0\)
- \(\sin(x)\cdot\cos(2x)=0\)
フクさん
畳み込みを意識してみると良いだろう。
Pythonコード
フクさん
Pythonコードは以下となる。
import numpy as np
N = 1000000 # 要素数
L = np.pi # 0を中心とした±幅
x = np.linspace(-L,L,N) # x軸
dx = 2*L/N # Δx
y=np.sin(x)@np.cos(x)*dx
print('sin(x)・cos(x)=%.5f'%(y))
y=np.sin(x)@np.cos(2*x)*dx
print('sin(x)・cos(2x)=%.5f'%(y))
y=np.sin(x)@np.sin(x)*dx
print('sin(x)・sin(x)=%.5f'%(y))
y=np.cos(2*x)@np.cos(2*x)*dx
print('cos(2x)・cos(2x)=%.5f'%(y))
y=np.cos(x)@np.sin(2*x)*dx
print('cos(x)・sin(2x)=%.5f'%(y))
y=np.sin(x)@np.cos(2*x)*dx
print('sin(x)・cos(2x)=%.5f'%(y))処理結果
フクさん
処理結果は以下。
sin(x)・cos(x)=-0.00000
sin(x)・cos(2x)=0.00000
sin(x)・sin(x)=3.14159
cos(2x)・cos(2x)=3.14160
cos(x)・sin(2x)=0.00000
sin(x)・cos(2x)=0.00000考察
太郎くん
これも似たような結果だね。
フクさん
微小な演算誤差もあるが、これも想定内だろう。
まとめ
フクさん
まとめだよ。
- 三角関数の直交性をPythonのNumPyで確認してみた。
- 同一の関数及び角周波数の場合はπになり、それ以外は0になる。
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