MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その28【三角関数の直交性③】

• 偶関数
• 奇関数
• 関数の内積
• 三角関数の加法定理
• 三角関数の積和公式
• 重要な極限値
• 三角関数の直交性
• フーリエ係数

\(
\displaystyle\sin(mx)\cdot\sin(nx)=\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx
\)

\(
\displaystyle\sin(\alpha x)\sin(\beta x)=\frac{\cos\{(\alpha-\beta)x\}-\cos\{(\alpha+\beta)x\}}{2}
\)

\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos\{(\alpha-\beta)x\}-\cos\{(\alpha+\beta)x\}}{2}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[\frac{1}{m-n}\sin\{(m-n)x\}-\frac{1}{m+n}\sin\{(m+n)x\}\bigg]_{-\pi}^{\pi}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2(m-n)}[\sin\{(m-n)\pi\}-\sin\{-(m-n)\pi\}]-\frac{1}{2(m+n)}[\sin\{(m+n)\pi-\sin\{-(m+n)\pi\}\}]
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle\frac{1}{2(m-n)}[\sin\{(m-n)\pi\}+\sin\{(m-n)\pi\}]-\frac{1}{2(m+n)}[\sin\{(m+n)\pi+\sin\{(m+n)\pi\}\}]\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2(m-n)}[2\sin\{(m-n)\pi\}]-\frac{1}{2(m+n)}[2\sin\{(m+n)\pi]\\
&=&\displaystyle\frac{\sin\{(m-n)\pi\}}{m-n}-\frac{\sin\{(m+n)\pi\}}{m+n}
\end{eqnarray}
\)

\(
\displaystyle\frac{\sin\{(m-n)\pi\}}{m-n}-\frac{\sin\{(m+n)\pi\}}{m+n}=0
\)