バックナンバーはこちら。
https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia5-backnumber/
はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の直交性について説明の続き。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は三角関数の直交性についての続きを説明する。
内積は畳み込み積分
以前、内積と畳み込み積分は、該当関数を無限次元ベクトルをすると同一でるという話をしたと思う。
確かに言ってたね。
まず、sin関数とcos関数の内積を考えてみよう。
\(
\sin(nx)\cdot\cos(mx)
\)
ちなみに、nとmはある自然数とする。
これを畳み込み積分で考える。
\(
\displaystyle\sin(nx)\cdot\cos(mx)=\int_{-\pi}^{\pi}=\sin(nx)\cos(mx)dx
\)
そして、sin関数は奇関数、cos関数は偶関数。
奇関数×偶関数はどうなるか？
たしか、奇関数×偶関数は奇関数のはずだよ。
正解。
それでは奇関数を原点を中心に同じ幅で定積分するとどうなるか？
あ！そういえば奇関数でその定積分をすると0になるはずだ！
またまた正解。
つまり。以下が成立する。
\(
\displaystyle\sin(nx)\cdot\cos(mx)=\int_{-\pi}^{\pi}=\sin(nx)\cos(mx)dx=0
\)
なるほど。
0になっちゃうのか。
内積が0になるということは？
畳み込み積分の結果、0になった。
つまり、内積の結果としても0と言える。
この状況は何を示しているだろうか？
内積で0？
あ！
前回やった直交している状態だ！
正解。
sin関数とcos関数は無限次元ベクトルとすると直交したベクトルとなる。
こういうつながり方するのかー。
まぁ、sin関数とcos関数が直交していることで何が良いのかわからないけど。
直交しているという事実はかなり重要。
まぁ、これも後でわかると思うよ。
まとめ
まとめだよ。
- sinとcosの内積と畳み込み積分を考える。
- 奇関数、偶関数の特性より、sin、cosの畳み込み積分は0となる。
- 畳み込み積分が0ということは内積も0になる。
- 内積が0ということは直交しているということになる。
バックナンバーはこちら。
マンガでわかるフーリエ解析
手を動かしてまなぶ フーリエ解析・ラプラス変換
物理数学 量子力学のためのフーリエ解析・特殊関数
単位が取れるフーリエ解析ノート
今日から使えるフーリエ変換 普及版 式の意味を理解し、使いこなす
コメント