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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は重要な極限値について説明。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は重要な極限値の説明になる。
重要な極限値とは？
で、重要な極限値って何？
以下の極限値だな。
\(
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}
\)
\(x\)を限りなく\(0\)に近づけた場合の\(\sin(x)/x\)ってことなんだろうけど、
\(sin(0)=0\)だから、\(0/0\)になって不定値になるパターンに見えるな・・・。
単純に0を代入するとそうなるね。
そこで極限値であることが重要になってくる。
つまり、いきなり0を代入するのではないく、徐々に0に近づけていくと、
何かしらの値に収束するってことか。
そうそう。
円に接する三角形と扇形に着目する
これを解くには縁に接する三角形と扇形に着目する必要がある。
何を言ってるのかわからん・・・。
絵に描くとこんなやつだ。
絵にされても意味がわからん・・・。
まぁ、この絵と先ほどの関数の直接的な関係性はないからね。
各図形の面積に着目すると以下の不等式が成立する。
\(
{\color{orange}三角形OAB}<{\color{green}扇形OAB}<{\color{blue}三角形OBC}
\)
まぁ、確かに成立するのは先ほどの絵を見るとあってそう。
さらに、それぞての面積を求める。
半径1の円に接しているので、底辺が1になっているのがポイントだな。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle{\color{orange}三角形OAB}&=&底辺\times高さ\div2=\frac{1}{2}\sin(x)\\
\displaystyle{\color{green}扇形OAB}&=&\pi r^2\frac{x}{2\pi}=\frac{1}{2}x\\
\displaystyle{\color{blue}三角形OBC}&=&底辺\times高さ\div2=\frac{1}{2}\tan(x)
\end{eqnarray}
\)
一見すると面積とか求められない気がしたけど、
冷静にみれば、面積を求めるための情報は揃っていたってことか。
そうそう。
あとは、これらを利用して数式を変形していく。
まとめ
まとめだよ。
- 重要な極限値について説明。
- sin(x)/xのxを0に近づける極限値。
- まずは円に接する三角形と扇形に着目する。
- これが先ほどの極限値にどうつながるかは次回。
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