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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の積和公式の話の続き。
フーリエ係数に向けての変形も。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は三角関数の積和公式の続きになる。
【再掲】三角関数の加法定理達
一応、加法定理も再掲。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
\end{eqnarray}
\)
sinとsinの積和公式
最後の積和公式はsinとsinの積だ。
以下で導出する。
\(
\begin{eqnarray}
\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)&=&-2\sin(\alpha)\sin(\beta)\\
\sin(\alpha)\sin(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}
\end{eqnarray}
\)
cosの加法定理の引き算で求められるのか。
積和公式の変形
これで必要な積和公式がそろった。
じゃー、今回はここまで・・・。
ちょい待ち！
(なんか嫌な予感する・・・。)
フーリエ係数に話を繋がげるためにもう一段変形が必要だ。
なにをすれば良いの？
\(\alpha,\beta\)を\(\alpha x,\beta x\)にするだけ。
それって大変なの？
いんや。
普通に代入して最適化するだけだな。
まず、導出した積和公式を並べよう。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\\
\sin(\alpha)\sin(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}
\end{eqnarray}
\)
あとは、\(\alpha,\beta\)を\(\alpha x,\beta x\)にして、xを分解
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha x)\cos(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\sin\{(\alpha+\beta)x\}+\sin\{(\alpha-\beta)x\}}{2}\\
\cos(\alpha x)\cos(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\cos\{(\alpha+\beta)x\}+\cos\{(\alpha-\beta)x\}}{2}\\
\sin(\alpha x)\sin(\beta x)&=&\displaystyle\frac{\cos\{(\alpha-\beta)x\}-\cos\{(\alpha+\beta)x\}}{2}
\end{eqnarray}
\)
本当に置き換えるだけか。
これは後で使うことになるから、
こういうものあると、一応覚えておいて。
まとめ
まとめだよ。
- sin,sinの積和公式を導出。
- 積和公式をフーリエ係数に向けて変形。
- α,βをαx,βxにするだけ。
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