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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の積和公式について。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は三角関数の積和公式について説明する。
【再掲】三角関数の加法定理達
まずは、前回の三角関数の加法定理を再確認しておこう。
つまり、これを今回使うってことか。
sin,cosと\(\beta\)に符号が付く付かないの計4つの式がある。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
\end{eqnarray}
\)
\(\beta\)に符号が付く版は偶関数、奇関数の特性を利用して導出する感じだったね。
三角関数の積和公式
三角関数の積和公式も高校の時に聞いた気がするが、
全く思い出せん。
端的に言うと、sin、cosの積を角度の和と差で表現し直すものだな。
前回の加法定理の組み合わせで求めることが可能だ。
だから、先に加法定理をやったのか。
sinとcosの積和公式
sinとcosの積和公式は以下で求まる。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=&2\sin(\alpha)\cos(\beta)\\
\sin(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}
\end{eqnarray}
\)
なるほど。
確かに、加法定理の組み合わせで求められてる。
cosとcosの積和公式
同じノリでcosとcosの積和公式も求める。
\(
\begin{eqnarray}
\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)&=&2\cos(\alpha)\cos(\beta)\\
\cos(\alpha)\cos(\beta)&=&\displaystyle\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}
\end{eqnarray}
\)
cosの加法定理を組合せだね。
まとめ
- 三角関数の加法定理の組み合わせで積和公式が導出できる。
- sin,cosの積和公式とcos,cosの積和公式を導出してみた。
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