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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の加法定理について。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は三角関数の加法定理について説明する。
加法定理
加法定理って高校2年くらいに習うやつだっけ？
たぶんそのくらいの時期に習うと思うよ。
こんな式だ。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)
\end{eqnarray}
\)
うーん、うっすらと覚えてるような覚えてないような・・・。
学校によっては
sinの加法定理を「咲いたコスモスコスモス咲いた」
cosの加法定理を「コスモスコスモス咲いた咲いた」
と暗記させるところもあるみたいだな。
コスモスがcosで咲いたがsinってことか。
そういう覚え方もあるのか。
加法定理のマイナス符号版？
そして、加法定理だが、\(\beta\)を足すのではなく、引いたものもある。
それだと加法定理じゃなく減法定理になっちゃうじゃん・・・。
まぁ、\(-\beta\)を足しているとは言えるな。
式としては先ほどの式とおおよそ一緒だ。
それも丸暗記すれば良いの？
それでも良いが、偶関数、奇関数の特性を利用すると、
先ほどの加法定理から求められる。
偶関数と奇関数の特性と言うと、定積分の話と、
線対称か、点対称かって話があるかな。
そして、以下の特性もあるな。
偶関数は\(f(-x)=f(x)\)
奇関数は\(f(-x)=-f(x)\)
偶関数は線対称だからxの符号の影響を受けない。
奇関数は点対称だから、xの符号を関数全体の符号として扱えるってことか。
つまり、
\(\cos(-x)=\cos(x)\)
\(\sin(-x)=-\sin(x)\)
と言えるわけか。
それを元に変形した加法定理が以下になる。
\(
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\\
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
\end{eqnarray}
\)
\(-\beta\)に着目して、cos側はそのままで、sin側だけが、符号が外に出るとなると
そういう式が成立するってことか。
こういうところでも偶関数、奇関数の特性が利用できるのか。
そうそう。
まとめ
まとめだよ。
- 三角関数の加法定理を確認。
- 偶関数、奇関数を利用すると、βにマイナス符号が付いた加法定理の式も導出できる。
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