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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は関数の内積について。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は関数の内積について説明する。
前回までの数式パズルの力業的解法について
いまさらだけど、
前回までの数式パズルの力業で解くのは、
はちょっと横道にそれ過ぎな感じだったな・・・。
そうでもない。
今回の関数の内積とかなり密接な話となる。
もしかして、それを想定して力業をやった感じ？
そうそう。
関数の内積
関数の内積は、前回の数式パズルを力業で解いたのとほぼ同じような話になる。
関数を無限次元ベクトルと解釈すると、
関数の内積の計算ができる。
関数の内積の定義は以下となる。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot g(x)&=&\int_{-L}^L f(x)g(x)dx\\
&=&
\begin{bmatrix}
f(x_1)&\dots&f(x_n)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
g(x_1)\\
\vdots\\
g(x_n)
\end{bmatrix}dx\\
&=&
\{f(x_1)g(x_1)+\dots+f(x_n)g(x_n)\}dx
\end{eqnarray}
\)
おー！
確かに前回まででやってた力業に相当する話っぽい！
フーリエ係数との関係性
そして当然、関数の内積はフーリエ係数と関係性がある。
具体的には三角関数との内積が重要になるな。
\(
\displaystyle f(x)\cdot\cos(x)=\int_{-L}^L f(x)cos(x)dx
\)
現時点ではまだようわからんが、関数の内積といえばこれってのは覚えてばOKって感じだね。
そうそう。
まとめ
まとめだよ。
- 前回までの数式パズルの力業的解法と関数の内積はほぼ同一の考え方。
- 関数を無限次元ベクトルを解釈すると、関数の内積は関数の積の定積分として表現される。
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