バックナンバーはこちら。
https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia5-backnumber/
はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は偶関数と奇関数を利用した数学パズルを力業で解く方法。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は偶関数と奇関数を利用した数学パズルを力業で解く方法。
数学パズルを力業で解く？
数学パズルの話はもう終わりだと思ってたけど、
まだ何か残ってるの？
前回は、割と数学的に解く方法を示したのだが、
これを力業で解く方法もある。
力業？
どんな方法？
端的に言うとプログラム的に解く方法だな。
いわゆる数値的に解決ってやつか。
そうそう。
無限次元ベクトル
どのような関数も無限次元ベクトルで表現可能と言う考え方がある。
無限次元ベクトル？
連続的な関数を表現する線を無限個の点で表現するイメージだな。
なるほど。
無限個の点が線になるのはなんとなくわかるな。
今回の関数
まず、数式パズルで使用した数式は以下。
\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_{-2}^2\Big(x^3\cos(2x)+\frac{1}{2}\Big)\sqrt{4-x^2}dx\\
&=&\displaystyle\int_{-2}^2\Big(x^3\cos(2x)\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\Big)dx
\end{eqnarray}
\)
積分の中で積があるので、畳み込み積分の一種と言えるな。
まぁ、畳み込み積分の場合、本来であれば、-∞から∞の範囲である必要はあるが、
類似のものではあると言って良いだろう。
そして、無限次元ベクトルであれば、
畳み込み積分と無限次元ベクトルの内積は等価と言える。
無限次元ベクトルで表現してみる
無限次元ベクトルであることを前提として、
今回の定積分を表現すると以下になる。
\(
\begin{eqnarray}
\Bigg(
\begin{bmatrix}
-2^3&\dots&2^3
\end{bmatrix}\odot
\begin{bmatrix}
\cos(2(-2))&\dots&\cos(2(2))
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sqrt{4-(-2)}\\
\vdots\\
\sqrt{4-(2)}\\
\end{bmatrix}\\+
\displaystyle\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
\sqrt{4-(-2)}&\dots&\sqrt{4-(2)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}
\Bigg)\Delta x
\end{eqnarray}
\)
最後の\(\Delta x\)はなんだ？？
サンプリング間隔の解決用だな。
今回だと、-2から2の範囲の4をベクトルの要素数で割ったものだ。
こんな感じでベクトルで表現できるってことは
MATLABとかで計算できそう。
その通り。
その計算を次回やってみよう。
まとめ
まとめだよ。
- 複雑な関数も無限次元ベクトルと見なすと力業で解くことが可能。
- 複雑な定積分を無限次元ベクトルとして表現。
- これをプログラムとして解いていく。
バックナンバーはこちら。
マンガでわかるフーリエ解析
手を動かしてまなぶ フーリエ解析・ラプラス変換
物理数学 量子力学のためのフーリエ解析・特殊関数
単位が取れるフーリエ解析ノート
今日から使えるフーリエ変換 普及版 式の意味を理解し、使いこなす
コメント