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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は偶関数と奇関数を利用した数学パズルを割と真面目に解くバージョンの続き。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は偶関数と奇関数を利用した数学パズルを割と真面目に解くバージョンの続き。
それぞれの関数の確認
とりあえず、各関数が奇関数か偶関数か特定できたところだね。
以下の感じになるはず。
- \(x^3\)は奇関数
- \(\cos(2x)\)は偶関数
- \(\sqrt{4-x^2}\)は半円の方程式なので偶関数(半円なのでy軸に対して線対称)
偶関数、奇関数の特性を利用して解く
奇関数と偶関数を掛けたものは奇関数だから
\(x^3\cos(2x)\sqrt{4-x^2}\)は
奇関数×偶関数×偶関数＝奇関数
そして、奇関数を-2から2の範囲の定積分を行うと必ず0になる。
つまり、この式になる。
\(
\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}dx\\
\)
正解だ。
さらに、\(\sqrt{4-x^2}\)は偶関数だから、
0から2の定積分の2倍したものと等しくなる。
\(
\begin{eqnarray}
&&2\displaystyle\int_{0}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}dx\\
&=&\displaystyle\int_{0}^2\sqrt{2^2-x^2}dx
\end{eqnarray}
\)
偶関数の特性を利用して解く
これが四分円の面積になるんだっけ？
これは、図として示した方が分かりやすいだろう。
そうか。
半径2の円を4分の1にしたものになるのか。
そうすると以下で解けるはず。
\(
\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}=\frac{4\pi}{4}=\pi
\)
という感じで答えは\(\pi\)になる。
正解だ。
しかし、\(\pi\)なんてどこにも出てこなかったものが答えなるのは不思議だねー。
まぁ、半円の方程式が隠れていたからね。
\(\pi\)はそこからの由来となるな。
\(x^3\cos(2x)\)の方は奇関数であるが故に消えちゃう部分だしね。
まとめ
まとめだよ。
- 偶関数、奇関数の特性を利用しまくって定積分を最適化しまくる。
- ほとんどが0に消えて、半円の方程式だけが残る。
- さらに偶関数の特性を利用して四分円にする。
- 半径2の円を四等分すれば答えが出る。
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