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はじめに
フーリエの積分公式を求める話の続き。
前回は、角周波数ωの刻みであるΔωについて言及。
これにより、離散的な係数導出が、連続的な角周波数導出に近付く。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】角周波数ωとその刻みであるΔωで表現しなおした式
前回の角周波数ωとその刻みであるΔωで表現しなおした式を再掲
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\omega_n t} \,dt\Big\}e^{i\omega_n x}\Delta\omega
\)
これにより、離散的な係数導出を、連続的な角周波数導出に近づけていく。
完全に連続にする
前回は\(\Delta\omega\)という刻みだったが、
これでもまだ離散的な状態だ。
どうするの？
\(\Delta\omega\to 0\)とすれば連続と言える。
ついでに、\(L\to\infty\)とすると、変換元波形全域になる。
いわゆる極限ってやつか。
以下の式になる。
\(
\displaystyle f(x)=\lim_{\begin{eqnarray}\Delta\omega\to 0\\L\to\infty\end{eqnarray}}
\sum_{n=-\infty}^\infty \bigg\{ \frac{1}{2\pi}\int_{-L}^L f(t)e^{-i\omega_n t}\,dt \bigg\}e^{i\omega_n x}\Delta\omega
\)
なんかすげぇヤベェことになってんぞ！
というか\(\lim\)のところとか、よくこんな式書けたな・・・。
MathJaxでの数式の書き方をむっちゃ試行錯誤した。
これで連続になった感じ？
式の意味としては連続になったな。
しかし、あまり一般的な書き方ではない。
そりゃそーだろ。
これを一般的な書き方へ変更する必要がある。
徐々にシンプルになってきたと思ったら、今回で大魔境に放り込まれた気分だ・・・。
まとめ
まとめだよ。
- Δωで刻みにしたので、極限を利用して連続系へ。
- 数式上は連続ではあるが、一般的な表現ではない。
- よって、一般的な表現に書き換える必要がある。
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