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はじめに
前回は各種フーリエの関係性について説明。
そこからフーリエ変換より先に逆フーリエ変換を求める方が先となる。
実際にはフーリエの積分公式を求めることとなる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ級数、複素フーリエ係数
とりあえず前回の式を再掲。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\omega_n t} \,dt\Big\}e^{i\omega_n x}
\)
角周波数\(\omega\)にしたことでちょっとだけシンプルになった感じ。
追加で、角周波数\(\omega\)に変換した式も再掲しておこう。
\(
\displaystyle \omega_n=n\frac{2\pi}{2L}=\frac{n\pi}{L}
\)
ということは、またこの式を使うってことか。
ωの刻みをΔωにする
ここで、角周波数\(\omega\)の刻みである\(\Delta\omega\)について考える。
刻み？\(\Delta\omega\)？
端的に言うと、\(\omega_n-\omega_{n-1}\)を定義するってことだな。
定義なんてできるの？
普通に導出すればOKだ。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \Delta\omega&=&\omega_n-\omega_{n-1}=\frac{n\pi}{L}-\frac{(n-1)\pi}{L}=\frac{\pi}{L}\\
L&=&\frac{\pi}{\Delta\omega}
\end{eqnarray}
\)
あ、本当にそのまんまか。
これを代入すると以下になる。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\omega_n t} \,dt\Big\}e^{i\omega_n x}\Delta\omega
\)
どんどん式が変化しては行くけど、どこに向かってるかはわからねぇな・・・。
まぁ、なんとか離散的な係数算出を連続的な周波数算出に持っていきたいってところだな。
まとめ
まとめだよ。
- 角周波数ωの刻みであるΔωについて説明。
- Δωを定義することで、離散的な係数算出が連続的な角周波数算出に近づけていっている。
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