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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は偶関数と奇関数の組み合わせの説明。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は偶関数と奇関数の組み合わせについて。
偶関数と奇関数の組み合わせ
偶関数と奇関数の組み合わせとは何ぞ？
偶関数と奇関数を掛け合わせた場合の特性だな。
掛け合わせる？？？
例えば、
偶関数を\(\cos(x)\)
奇関数を\(x^2\)
とした場合、
\(x^2 cos(x)\)が偶関数と奇関数を掛け合わせたものだな。
なんだ。
本当に掛けてるだけか。
偶関数と奇関数の積の特性
先に偶関数と奇関数の積の特性を説明すると以下が成立する。
- 偶関数×偶関数=偶関数
- 奇関数×偶関数=奇関数
- 奇関数×奇関数=偶関数
ほう。こんな特性があるのか。
イメージ的には偶数と奇数の足し算の関係に似てるね。
そうだね。
それで覚えておくと良いだろう。
偶関数と奇関数の積の特性をグラフにしてみる。
できたら、実際にどんなグラフになるかは見ておきたいな。
あらゆるパターンと言うと難しいが、
先ほどの3パターンの代表的なグラフは出してみよう。
偶関数×偶関数＝偶関数
\(y=\cos(x)x^2\)
奇関数×奇関数＝偶関数
\(y=\sin(x)x^3\)
偶関数×奇関数＝奇関数
\(\sin(x)x^4\)
なるほど。
確かに言われたような関係性になってるね。
この特性もかなり重要な特性と言えるだろう。
まとめ
まとめだよ。
- 偶関数と奇関数の積の重要な特性について説明。
- 結論としては以下になるだけ。
- 偶関数×偶関数=偶関数
- 奇関数×偶関数=奇関数
- 奇関数×奇関数=偶関数
- 結論としては以下になるだけ。
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